Вероятность что неприятность. Решение

Задача №1.26

Номер автомобиля содержит четыре цифры, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9 (возможен номер 0000). Определить вероятность того, что вторая цифра номера равна четырем.

Найдём число всех возможных комбинаций номера автомобиля:

2-ая цифра номера равна 4, если его комбинация представляет набор вида: X 4 XX , где X – любая цифра от 0 до 9.

Следовательно, число таких номеров равно:

Вероятность того, что вторая цифра номера равна четырем.

Ответ:

Задача № 2.11

Дана схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом (рисунок 1). Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Рисунок 1

Согласно рисунку 1 элементы 1, 2, 3 соединены параллельно между собой и последовательно с элементом 4.

Введем события: A ­ 1 – элемент 1 исправен, A ­ 2 – элемент 2 исправен, A ­ 3 – элемент 3 исправен, A ­ 4 – элемент 4 исправен, B – сигнал проходит от точки a к точке b , C – сигнал проходит от точки a к точке c (со входа на выход).

Событие B произойдёт, если будут работать или элемент 1, или элемент 2, или элемент 3:

B :

Событие C произойдёт, если произойдёт событие B и событие A 4 :

Вероятность наступления события C :

Ответ:

Задача №3.28

Приборы одного наименования изготавливаются на трех заводах. Первый завод поставляет 45% всех изделий, поступающих на производство, второй - 30% и третий - 25%. Вероятность безотказной работы прибора, изготовленного на первом заводе, равна 0,8 , на втором - 0,85 и на третьем - 0,9. Прибор, поступивший на производство, оказался исправным. Определить вероятность того, что он изготовлен на втором заводе.

Обозначим через А событие – прибор, поступивший на производство исправен.

Сделаем ряд предположений:

Прибор поступил с 1-ого завода:

Прибор поступил со 2-ого завода:

Прибор поступил с 3-его завода:

Соответствующие условные вероятности для каждой из гипотез:

По формуле полной вероятности найдём вероятность события A :

Вычислим вероятность того, что исправный прибор поступил со 2-ого завода:

Ответ:

Задача №4.26

Монету подбрасывают 100 раз. Какова вероятность того, что она ни разу не упадет гербом вверх?

Событие - монета ни разу из 100 подбрасываний не упала гербом вверх.

Вероятность того, что монета не упала гербом вверх p =0,5 и следовательно, вероятность того что монета упала гербом вверх q =0,5 :

Определим вероятность события A по формуле Бернулли (n = 100; k =100 )

Ответ:

Задача № 5.21

Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Таблица 1 – Исходные данные

    Математическое ожидание и дисперсию величины Х:

    Построим ряд распределения СВ X:

Таблица 2 –Ряд распределения СВ X

Построим график функции распределения (рисунок 2):

Рисунок 2 - график функции распределения F(X­ i)

Задача № 6.3

Случайная величина Х задана плотностью вероятности:

Определить константу С , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.

Отсюда константа :

    Определим математическое ожидание СВ Х:

    Определим дисперсию СВ Х :

    Определим функцию распределения величины Х:

Ответ:

Задача № 7.15

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b ]. Построить график случайной величины Y= (X) и определить плотность вероятности g(y).

обратных функций не существует

Рисунок 3 – график функции

Так как случайная величина Х распределена равномерно на интервале , то её плотность вероятности равна:

Определим плотность вероятности величины :

Задача № 8.30

Двухмерный случайный вектор (Х, У ) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рисунок 4 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Таблица 3 – Исходные данные

Рисунок 4

    Построим область B согласно координатам из таблицы 5 и рисунку 4.

Рисунок 5

Проанализируем рисунок 5: область B на промежутке ограничена слева прямой , справа , на промежутке ограничена слева прямой , справа -

Следовательно, совместная плотность вероятности примет вид:

Таким образом:

Проверим полученный результат геометрически. Объём тела, ограниченного поверхностью распределения В и плоскостью xOy равен 1, т.е:

Следовательно, константа рассчитана верно.

    Вычислим математические ожидания:

    Вычислим дисперсии:

    Вычислим корреляционный момент:

Вычислим коэффициент корреляции между величинами X и Y:

Ответ:

Задача № 9

По выборке одномерной случайной величины:

Получить вариационный ряд;

Построить график эмпирической функции распределения F * (x ) ;

Построить гистограмму равноинтервальным способом;

Построить гистограмму равновероятностным способом;

Вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

Вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);

Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия 2 и критерия Колмогорова ( = 0,05).

Одномерная выборка:

Размер выборки

Решение

  1. Получим вариационный ряд из исходного:

    Построим гистограмму равноинтервальным способом (рисунок 7).

Для построения гистограммы составим интервальный статистический ряд, учитывая что длина у всех интервалов должна быть одинаковая.

Количество интервалов;

- ширина интервала;

Частота попадания СВ X в j-ый интервал;

Статистическая плотность в j-ом интервале.

Таблица 4 – Интервальный статистический ряд

f * (x)

Рисунок 7

    Построим гистограмму равновероятностным способом (рисунок 8).

Для построения гистограммы составим интервальный статистический ряд, учитывая что частота попадания СВ X в в каждый j-ый интервал должна быть одинаковая (Таблица 5).

Таблица 5 – Интервальный статистический ряд

f * (x)

Рисунок 8

    Вычислим точечные оценки математического ожидания и дисперсии:

    Вычислим интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95):

H 0 – величина X распределена по экспоненциальному закону:

H 1 – величина X не распределена по экспоненциальному закону

Таким образом получаем полностью определенную гипотетическую функцию распределения:

Проверим гипотезу о нормальном законе по критерию Пирсона . Вычислим значение критерия на основе равноинтервального статистического ряда:

Теоретические вероятности попадания в интервалы вычислим по формуле:

Таблица 6 – Результаты расчётов

Проверим правильность вычислений :

Вычислим критерий Пирсона:

Определим число степеней свободы:

Выбираем критическое значения критерия Пирсона из таблицы для степени свободы и заданного уровня значимости :

Так как условие выполняется, то гипотеза H 0 об экспоненциальном законе распределения принимается (нет оснований ее отклонить).

8) Проверим гипотезу при помощи критерия Колмогорова. Для этого построим график гипотетической функции распределения в одной системе координат с эмпирической функцией (рисунок 6). В качестве опорных точек используем 10 значений из таблицы 6. По графику определим максимальное по модулю отклонение между функциями и :

Вычислим значение критерия Колмогорова:

Из таблицы Колмогорова по заданному уровню значимости выбираем критическое значение критерия:

Так как условие выполняется, гипотеза 0 об экспоненциальном законе распределения принимается (нет оснований ее отклонить).

Ответ: 0,7157

2.

3.

4. номер не делится на 5

Решение: P(A) = m/n; m=1/

Оно равно 90 и вычтем из этих чисел те которые делятся на 5 (10,15,20,25…90,95). Их количество равно 18 => n=90-18=72

Ответ: 1/72

Решение: P(A)=m/n

а) P(A)=6/36 =1/6

Решение: C m n = n! / m!(n-m)!

m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

б) вытащить 3 красных из 7 можно C 3 7 способами, и 3 черных из 5 =>

С 3 5 способами.

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Ответ:

Решение:

Ответ: 0,3.

Решение:

A – выход из лабиринта.

P(A/H3) =0,2 –из 3 лабиринта

P(A/H4) = 0,1 –из 4 лабиринта



Ответ: 1/3; 2/5

9.

10.


11. .

Решение:


Решение:

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

13.



Решение:

Пусть B ни одного попадания



P(C)= 1 - 0,216 = 0,784

Ответ: 0,784

Решение:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

Ответ: 15/48 = 0,3125

16.

Решение:


17.


Решение:

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

Решение:

Ответ: P(A) = 0,925

Студент в поисках книги посещает 3 библиотеки. Вероятность того, что они есть в библиотеке равны 0,4; 0,5; 0,1; а того, что они выданы или нет – равновероятные события. Какова вероятность того, что нужна книга найдена.

Решение: A-книга есть в библиотеке, B – книга не выдана.

P(B) = P(B -) = ½

P(A1) = 0,4 P(A2) = 0,5 P(A3) = 0,1

Определим вероятность того, что нужная книга найдена:

P = P(A1)* P(B) + P(A2)*P(B) + P(A3)*P(B) = P(B)(P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1/2 * (0,4 + 0,5 +0,1) = 1/2 * 1 = ½

Ответ: 1/2

23. Найти вероятности того, что дни рождения 12 человек прийдутся на разные месяцы года.

Решение: P(A)= m/n

n = --- A 12 = 12 12

P = 12! / 12 12 = 11! / 12 11 = (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (12*12*12*12*12 7) = (11*5*7*5*1) / 12 7 = 7*8*25 / 12 7 = 1925 / 12 7

Ответ: 1925/12 7

24. В урне имеется 10 белых, 5 черных и 15 красных шаров. Извлекается последовательно 2 шара. Рассматриваются 2 события А - хотя бы один шар из двух вынутых красный, В - хотя бы один вынутый шар белый. Найти вероятность события С = А + В.

25. Наудачу набранный номер состоит из 5 цифр. Определить вероятность того, что все цифры в нем различны.


26. В магазин трикотажных изделий поступили носки, 60% которых получено от одной фабрики, 25% - другой и 15% - третьей. Найти вероятность того, что купленные покупателем носки изготовлены на второй или третьей фабрике.

Решение. A1-от 1 фабрики, P(A1) = 0,6;

А2 –от 2 фабрики; P(A2) = 0,25

A3 – от 3 фабрики; P(A3) = 0,15

P(A2+A3) = 0,25 + 0,15 = 0,4

Ответ: 0,4

Пассажир за получением билета может обратиться в одну из касс. Вероятность обращения в 1ую кассу составляет 0,4; во 2ую 0,35; и 3ью 0,25. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут проданы, равна для 1ой кассы 0,3; для 2ой 0,4, для 3ей 0,6. Найти вероятность того, что пассажир купит билет.

P(A) –вероятность не купить билет.

P(A) =0,4*0,3 + 0,35*0,4 + 0,25*0,6 =

0,12 + 0,14 + 0,15 = 0,41

P(A1) – вероятность купить билет = 1-P(A) = 1 – 0,41 = 0,59.

Ответ: P(A1) = 0,59.

28. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что: а) хотя бы на одной появится 2 очка, б) на них выпадет по одинаковому числу очков.

Решение:

29. Из 9 жетонов, занумерованных разными однозначными цифрами, выбирается 3. Найти вероятность того, что последовательная запись их номеров покажет возрастание значений цифр.

Решение:


30. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Какова вероятность того, что выиграет хотя бы один билет из трех купленных?

31. Из полной колоды карт(52 листа) вынимают сразу 4 карты. Найти вероятность того, что все эти карты будут разным мастей.

Решение: Вероятность вытащить конкретную масть равна C 1 13

C 1 13 = 13(количество возможных способов).

Возможность вытащить карты из 52 = C 4 52 = 52! / 4!* 48! = 48!*49*50*51* 52 / 2*3*4*48! = 270725
P(A) = C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 / C 4 52 = 28561 /270725 = 0,1054982

Ответ: P(A) = 0,1054982.

32. Имеется 3 урны. В первой из них 5 белых и 6 черных шаров, во второй 4 белых и 3 черных шара, в третьей 5 белых и 3 черных шара. Некто наугад выбирает одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из второй урны.

Решение:


Ответ: 0,9125

52. Какова вероятность получения 1 туза, туза и короля при сдаче 6 карт из колоды в 52 карты?


Машин были доставлены на станцию технического обслуживания. При этом 5 из них имели неисправность ходовой части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полностью исправны. Какова вероятность того, что машина с неисправной ходовой частью имеет также неисправный мотор.

Решение:

11111111 8 с неисправным мотором

5 с неипр ходов частью 11111 1111111111 10 исправны

11111111111111111111 всего 20

3 с неиспр мотор и ход часть111

P = m/n m-кол-во машин с неисправной ходовой частью и неисправным мотором; m=3

n – кол-во машин с неисправной ходовой частью; n=5

P = 3/5 – вероятность, что машина с неисправной ходовой частью имеет неисправный мотор.

Ответ: 3/5

Ответ: 21/625; 219/625; 247/625

67. В первой бригаде из 8 тракторов 2 требуют ремонта, во второй из 6-1.Из каждой бригады наудачу выбирают по одному трактору. Определить вероятность того, что а)оба исправны, б)хотя бы один исправен, в) только один исправен

a)P(A)=P(A1*A2) =3/4*5/6=5/8

б)P(A) = 1-P(--- A)=1-2/8*1/6=1-1/24=23/24

в) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3

68. В организации работают 12 мужчин и 8 женщин. Для них выделено 3 премии. Определить вероятность того, что премию получат: а) двое мужчин и одна женщина; б) только женщины; в) хотя бы один мужчина.

Решение: а) A-1 мужчина

B- 2 мужчины

С- 1 женщина

P(A) = 12/20; P(B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0,154

б) A-1 женщина

B-2 женщины

С-3 женщины

P(A) = 8/20 ; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0,049

в) A-хотя бы 1 мужчина

A все женщины

P(A)=1- P(--- A)

P(--- A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0,049

69. Из 25 работников, предприятия 10 имеют высшее образование: Определить вероятность того, что из случайно отобранных трех человек высшее образование имеют; а) три человека; б) один человек; в) хотя бы один человек.

Решение:


70. На карточках написаны буквы «К», «А», «Р», «Т», «О», «Ч», «К», «А». Карточки перемешивают и кладут в порядке их вытаскивания. Какова вероятность того, что получится: а) слово «КАРТОЧКА»; б) слово «КАРТА»; в) слово «ТОК».


71. В коробке из 25 изделий 15 повышенного качества. Наудачу извлекается 3 изделия. Определить вероятность того, что: а) одно из них повышенного качества; б) все три изделия повышенного качества; в) хотя бы одно изделие повышенного качества.

Решение:

72. Бросается три игральных кости. Какова вероятность того, что: а) хотя бы на одной из них появится 5 очков; б) на всех выпадут нечетные цифры; в) на всех костях выпадут одинаковые цифры

73. В первом ящике из 6 шаров 4 красных и 2 черных, во втором ящике из 7 шаров 2 красных и 5 черных. Из первого ящика во второй, переложили один шар, затем из второго в первый переложили один шар. Найти вероятность того, что шар извлеченный после этого из первого ящика - черный.

74. Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе выпускает 55% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием 0,1, вторым 0,15. а)Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется не стандартным, б) Взятое изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность, что оно выпущено на втором предприятии.

Решение:


75. Имеется три урны. В первой 3 белых и 2 черных шара, во второй и третьей по 4 белых и 3 черных шара. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что шар взят из третьей урны?

Решение: P(H1) = 1/3; P(H2) =1/3; P(H3) = 1/3.

P(A) – вероятность вытащить белый шар.

Если выбирается 1ая урна P(A/H1) = 3/5

2ая P(A/H2) = 4/7

3я P(A/H3) = 4/7

P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21

P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3

Ответ: 1/3

76. Семена для посева в хозяйство поступают из трех семеноводческих хозяйств. Причем первое и второе хозяйства присылают по 40 % всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства 90%, второго 85%, третьего 95%. а) Определить вероятность того, что наудачу "взятое семя не взойдет, б) Наудачу взятое семя не взошло. Какова вероятность, что оно получено от второго хозяйства?

77. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из 20 студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов, 5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета.

Решение: H1-выбор студента который выучил все, H2 – выбор студента, который выучил 25 вопросов, H3 – выбор студента, который выучил 20 вопросов, H4 – выбор студента, который выучил 10 вопросов.

P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m-те кто выучил все вопросы, n- все студенты.

P(H2) = 6/20 = 3/10

P(H3) = 5/20 = ¼

P(A/H1) = 1 – Вероятность того, что студент, который выучил всё,ответил на 2 вопроса билета из выученных им 25 вопросов.

P(A/H2) = 25/30 = 5/6 – вероятность того, что студент ответит на 2 вопроса билета из выученных им 25 вопросов.

P(A/H3) = 20/30 = 2/3 – вероятность того, что студент, который выучил 20 вопросов ответит на 2 вопроса билета.

P(A/H4) = 10/30 = 1/3 – вероятность того, что студент, который выучил 10 вопросов, ответит на 2 вопроса билета.

Используя формулу полной вероятности найдем вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на 2 вопроса билета:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) + P(H4) P(A/H4)

P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6

Ответ: 5/6

78. Перед посевом 95% семян обрабатываются специальным раствором. Всхожесть семян после обработки 99%, необработанных 85%. А) Какова вероятность того, что случайно взятое семя взойдет? Б) Случайно взятое семя взошло. Какова вероятность того,что оно выращено из обработанного семени?

Решение : H1-обработанные семена, H2 – необработанные семена, A – семя взошло.

95% + 5% = 100% => P(H1) = 0,95 ; P(H2) = 0,05

P(A/H1) = 0,99 –веротность того,что случайно взятое семя взойдет,если оно обработано.

P(A/H2) = 0,85 – Вероятность того,что случайно взятое семя взойдет, если оно необработанно.

А) по формуле полной вероятности найдем вероятность, что случайно взятое семя взойдет:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P(A/H2)

P(A) = 0,95* 0,99 + 0,05*0,85 = 0,9405 +0,0425 = 0,983

Ответ: 0,983

79. В магазин поступают телевизоры четырех заводов. Вероятность того, что в течение года телевизор не будет иметь неисправность, равна: для первого завода 0,9, для второго 0,8, для третьего 0,8 и для четвертого 0,99. Случайно выбранный телевизор в течение года вышел из - строя. Какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе?


80. Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине, равна 0,4, втором 0,6 и третьем 0,8. Определить вероятность того, что покупатель купит товар в каком-то магазине. Покупатель купил товар. Найти вероятность того, что он купил его во втором магазине.


Ответ: 0,7157

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,75, второго 0,85,
третьего 0,95. Найти вероятность того, что а) откажут два станка, б) все три станка будут работать безотказно,в) хотя бы один станок откажет в работе.

3. Из колоды содержащей 52 карты вынимается наугад 3. Найти вероятность того, что это тройка, семёрка и туз.

4. Найти вероятность того, что абонемент наберет правильный двухзначный номер, если он знает, что данный номер не делится на 5

Решение: P(A) = m/n; m=1/

Посчитаем общее количество двухзначных чисел. Оно равно 90 и вычтем из этих чисел те которые делятся на 5 (10,15,20,25…90,95). Их количество равно 18 => n=90-18=72

Ответ: 1/72

5. Игральная кость подброшена 2 раза: а) Найти вероятность того, что сумма очков на верхних гранях составит 7.б)найти вероятность того, что хотя бы 2 очка появится при одном подбрасывание.

Решение: P(A)=m/n

а) P(A)=6/36 =1/6

б) P(B)=1-5/6*5/6=1-25/36 =11/36

6. В урне имеется 5 черных и 7 красных шаров. Последовательно (без возвращения) извлекается три шара. Найти вероятность того, что а)все три шара будут красными, б)три шара красными или черными.

Решение: C m n = n! / m!(n-m)!

C 3 12 = 220 - вариантов вытащить три шара.

а) Вытащить 3 красных из 7 можно C 3 7 способами.

m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

б) вытащить 3 красных из 7 можно C 3 7 способами, и 3 черных из 5 =>

С 3 5 способами.

m = C 3 7 + С 3 5 = 35 + 5! / 3!*2! = 35 + 10 = 45

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Ответ: а) P(A) = 7/44 ; б) P (A2) = 9/44

В группе из 15 человек 6 человек занимаются спортом. Найти вероятность того, что из случайно отобранных 7 человек 5 человек занимаются спортом.

Решение: P(A) = C 5 6 * C 2 9 / C 7 15 = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7!*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = (5*36*12) / (15*13*11*3) = 4/143 =0,03

Ответ: 0,3.

Мышь может выбрать наугад один из 5 лабиринтов. Известно, что вероятность ее выхода из различных лабиринтов за 3 минута равны 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0,1. Пусть оказалось, что мышь выбралась из лабиринта за 3 минуты. Какова вероятность того, что она выбрала первый лабиринт? Второй лабиринт?

Решение: Изначально вероятности выбора лабиринта мышью равны:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – вероятность выбора 1,2,3,4,5 лабиринт соответственно.

A – выход из лабиринта.

P(A/H1) = 0,5 – Вероятность выхода мыши из 1 лабиринта

P(A/H2) = 0,6 – из 2 лабиринта.

P(A/H3) =0,2 –из 3 лабиринта

P(A/H4) = 0,1 –из 4 лабиринта

P(A/H5) = 0,1 – из 5 лабиринта

По формуле полной вероятности:

P(A) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) +P(H3)P(A/H3) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A) = 1/5*0,5 + 1/5*0,6 + 1/5*0,2 + 1/5*0,1 +1/5*0,1 = 1/5 (0,5+0,6+0,2+0,1+0,1)=1/5*1,5=1,5*3/2 = 3/10 –вероятность выхода мыши из лабиринта за 3 минуты.

А)Найдем вероятность того,что мышь выбрала первый лабиринт(по формуле Бэйеса):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0,5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /(3/10) = 1/10*10/3 = 1/3

Б) Найдем вероятность того,что мышь выбрала второй лабиринт(по формуле Бэйеса)

P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0,6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3/25* 10/3 = 10/25 = 2/5

Ответ: 1/3; 2/5

9. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того, что из 5 билетов выигрышным является один.

10. В сентябре вероятность дождливого дня 0,3. Команда «Статистик» выигрывает в ясный день с вероятностью 0,8, а в дождливый день эта вероятность равна 0,3. Известно, что в сентябре они выиграли некоторую игру.Какова вероятность, что в тот день: а) шел дождь; б) был ясный день.


11. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7, вторым - 0,5, третьим -0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель.

Решение:


В первом ящике содержится 20 деталей, из них 10 стандартных, во втором 30 деталей, из них 25 стандартных, в третьем 10 деталей, из них 8 стандартных. Из случайно взятого ящика наудачу взята одна деталь, которая оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она взята из второго ящика.

Решение: P(H i) = 1/3; P(A/H1)=10/20=1/2; P(A/H2)=25/30=5/6;

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0,39

13. На каждой из пяти одинаковых карточек написана одна из следующих букв: А, Е, Н, С, Т. Карточки
перемешаны. Определить вероятность того, что из вынутых и положенных в ряд карточек а) можно составить
слово «СТЕНА», б) из трех карточек можно составить слово «НЕТ».



Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из двух орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,46, второго 0,6.

Решение:

Пусть B ни одного попадания

A1 – попадания при 1-ом выстреле.

А2 – попадание при 2-ом выстреле.

P(B) = -- А1 - А2 = 0,54* 0,4 = 0,216

Тогда С - хотя бы одно попадание.

P(C)= 1 - 0,216 = 0,784

Ответ: 0,784

Имеется 3 урны. В первой урне 6 черных и 4 белых, во второй 5 белых и 5 черных, в третьей 7 белых и 3 черных. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что выбрана вторая урна.

Решение:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

P(H/H1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10

P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30

P(H2/H) = (1/2*1/3)/ (8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48

Ответ: 15/48 = 0,3125

16. Монета подбрасывается 3 раза. Найти вероятность того, что герб появится: а) все 3 раза, б) только один раз, в)хотя бы один раз

Решение:


17. На отдельных карточках написаны цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все карточки перемешиваются, после чего наугад берут 5 карточек и раскладывают их в ряд. Определить вероятность того, что будет получено число 1 2 0 3 5. (Задачу решить, используя определение вероятности события и теоремы теории вероятностей)


Три известных экономиста одновременно предложили свои теории, которые считались равновероятными. После наблюдения над состоянием экономики оказалось, что вероятность того развития, которое она получила на самом деле в соответствии с первой теорией равна 0,5; со второй – 0,7; с третьей – 0,4. Каким образом это изменят вероятности правильности трех теорий.

Решение:

P(A/H1)=0,5; P(A/H2)=0,7; P(A/H3)=0,4

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0,5+1/3*0,7+

1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533

P(H1/A)=(1/3*0,5)/(1/3*1,6)=0,5/1,6=0,32.

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

В Магазине продается 4 магнитофона. Вероятность того, что они выдержат гарантийный срок, соответственно равны: 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Найти вероятность того, что взятый найдачу магнитофон выдержит гарантийный срок.

Решение: Вероятность покупки 1магнитофон –1/4 ; 2 – 1/4; 3 – 1/4 ; 4 –1/4.

P(A) = 1/4 * 0,91 + ¼ * 0,9 + ¼ * 0,95 + ¼ * 0,94 = 0,2275 + 0,225 + 0,2375 + 0,235 = 0,925

Ответ: P(A) = 0,925

Дмитрий Житомирский*

Мёрфи был оптимистом. В жизни каждого есть периоды, когда все удается. Но не волнуйтесь - это скоро пройдет! Ведь по закону Мёрфи образование отрицательного результата никоим образом не зависит от наших чаяний, следовательно, расхлебывать все это нам все равно придется. Каким образом? В данном случае условия задачи можно выбрать самостоятельно.

Если к подобной проблеме относиться как к обычной практике - надо менять всю систему; расхлябанность персонала - искать новых сотрудников; мистика - значит идти к шаманам. Возьмем пример из ближайшего прошлого: все спутники, запущенные в космос с целью исследований, упали обратно на Землю. А ведь в таких сложных событиях подготовка ведется годами. Логично, что задуматься об этом стоило, когда первые три спутника никуда не улетели. Но ничего не предприняв, мы получили еще одну трагедию.

Как к этому относиться? Искать технические проблемы или увеличивать финансирование космического приборостроения? Правильно: решать проблему комплексно. А значит, и искать технические недоработки, и выделять больше денег, и увольнять недобросовестных сотрудников, и ставить более сложные задачи - сразу. Однако, опять же исходя из закона Мерфи, даже это, возможно, не даст стопроцентного результата.

Вспомнить хотя бы первое следствие закона Мерфи: «Все не так легко, как кажется» или «Всякая работа требует больше времени, чем вы думаете». Рождение новой идеи, как правило, всегда сопровождается мнимой очевидностью ее реализации. Достаточно только дать толчок - найти менеджера, добавить денег путем взятия кредита или раскрутить сайт в Интернете. Однако стоит все провернуть - и оказывается, что ничего не работает. В своей эйфории мы упускаем что-то самое важное. С другой же стороны, как только мы начинаем задумываться о грядущих проблемах, моментально теряем «чувство полета», свое вдохновение - и все останавливается махом. Поэтому добиваться своего всегда следует - будучи одержимым идеей собственного неоспоримого успеха, решая проблемы по мере их поступления. Помня при этом, что одной лопаты может оказаться недостаточно даже для самой маленькой ямы, если именно в этом месте лежит булыжник. Ведь согласно уже второму следствию «Из всех возможных неприятностей произойдет именно та, ущерб от которой больше». А посему готовиться всегда следует к самому худшему. Конечно, начиная бизнес, надо верить в свои силы, но понимать, что это огромный риск. И каждый 20-й случай практически всегда заканчивается неудачей, ведь что-то приобретая, ты обязательно что-то теряешь. Важно не потерять все. Поэтому не надо начинать бизнес на последние деньги. Это очень рискованно. В любом случае нужно оставить на еду и коммунальные платежи. Чтобы, когда все закончится, ты мог намазать хлеб маслом. Трагедии случаются всюду, и уж гораздо более серьезного масштаба, чем просто неудачный бизнес. Как этого избежать? Не расслабляться! Вовремя просыпаться по утрам и сразу включаться в работу. Избежать спонтанных неприятностей все равно не получится, но снизить уровень их проявления - можно.

Делай все, что угодно, - только не сиди на месте! Ведь третье следствие закона Мерфи гласит: «Предоставленные сами себе события имеют тенденцию развиваться от плохого к худшему». Если ты перестал управлять событиями, на которые можешь воздействовать, - тенденция к ухудшению не заставит себя долго ждать. Ты организовал бизнес, и кого бы ты ни нанимал - это твой бизнес, твоя идея. Если же ты от него отстранишься, все молниеносно пустят по ветру. С другой стороны, «Всякое решение плодит новые проблемы». Как только мы начинаем что-то делать - мы создаем нечто материальное, которое имеет свойство жить своей жизнью. А значит, как маленький ребенок, оно непременно внезапно станет взрослым и закурит. Хотя все детство ты пытался ему объяснить, что курение - это вред. Решение здесь только по Тарасу Бульбе: «Я тебя породил, я тебя и убью». Порой смерть бизнеса, лучше, чем все попытки его сохранения. И дело может заключаться отнюдь не только в тебе, но в том, что конкуренты оказались серьезнее и проворнее. Сейчас мы наблюдаем полнейшее крушение компании Nokia, нечто подобное уже произошло с другими фирмами, занимающимися коммуникационным оборудованием. В один прекрасный момент они упустили, как корейские фирмы занялись этим вплотную, вложили много денег и сразу наладили производство новых продуктов. А те думали, что всю жизнь будут ездить на собственном бренде. Такого не бывает. Зазнались и получили должное. Сейчас Nokia наконец-то выпустила новые мобильные телефоны, однако специалисты утверждают, что это уже слишком поздно. И даже низкая цена вместе с брендом не спасут компанию. Это был шаг назад, а не вперед. Подобных примеров можно привести достаточно много.

Следует рассмотреть и другую крайность - японскую Toyota с философией кайдзен, предполагающую непрерывное совершенствование процессов производства и управления. Является ли данная практика панацеей? Вероятней всего, нет. Ведь, как известно, лучшее - враг хорошего. Каждая новая запчасть автомобиля требует установки еще двух запчастей, которые будут ее контролировать. То же и в бизнесе. Совершенствование системы подразумевает ее бесконечный рост и увеличение количества средств на обслуживание. Чем больше корпорация, тем выше ее шансы на гибель. Именно поэтому в момент кризиса мы увидели, что первыми на дно пошли самые большие «титаники». Те, кто считался нерушимым. Все потому, что самое могучее и совершенное уже не совершенно тем, что оно могучее.

У всех нас до сих пор лежат бабушкины мясорубки и до сих пор работают. Тогда как, отдавая дань техническому прогрессу, из-за их постоянных поломок нам постоянно приходится менять электрические комбайны. Выходит, чем меньше механизм - тем менее вероятным становится проявление законов Мёрфи. Ведь если весь конвейер состоит из двух узбеков, таскающих песок из одного конца двора в другой, - вероятность его поломки снижается в сотни раз, нежели если те же функции выполняло бы несколько экскаваторов.

Законы Мёрфи проявляются повсюду. Лишние болтики и винтики при сборке космического корабля? Конечно же да! Откуда - вопрос другой. Очевидно, что твое творение попало либо в руки Кулибина, либо в руки разгильдяя. Но будем объективными: второй вариант встречается чаще. Однако лишние запчасти остаются у обоих. И в этом основа закона Мёрфи. Передавая план каждому следующему человеку, ты каждый раз теряешь часть накопленного капитала. Ведь новый человек не сможет взять твою мысль в том виде, в котором она существует в твоей голове, как бы ты ни старался. Это уже не его знания, а твои - переданные ему. Он все равно услышал их по-своему, и реализовывать услышанное он тоже будет по-своему - отсюда лишние детали. Второй вариант - это Кулибины.

Намеренно нарушающие правила на свое усмотрение. Из разряда: «Я ведь не буду делать того, что я не хочу». Чисто человеческий фактор. Ведь правила, как известно, существуют, чтобы их нарушать. И если есть возможность, то это непременно произойдет. В любом случае такие поступки совершаются от протестности. И даже если ты понимаешь, что с вероятностью 300% после своего поступка ты вылетишь с работы - ты все равно так поступишь, получив при этом невероятный кайф. Скандал будет не напрасно. А получить за дело - всегда огромное удовольствие. Пусть даже твоя ракета и упала, но как она летела... как красиво... как по-новому... Если же рассматривать бизнес, очевидно, что это конфликт жесткой организации и построения. Ведь люди не могут работать как механизмы. Люди - это люди. И чем больше сотрудников у тебя работает, тем чаще это будет случаться. Молись, чтобы ты этого не замечал, но рано или поздно кто-то все равно войдет к тебе в кабинет и скажет, как его достала система. По правде сказать, даже наказывать таких людей бесполезно, но надо. Для них любое наказание никогда не перекроет удовольствия, которое они получили во время самого действия. Однако грамотно разработав тактику его пиара в качестве плохого примера, ты сможешь сделать это неповадным для остальных. Но только до тех пор, пока в системе опять не появится несогласный. А это непременно случится, в очередной раз послужив доказательством закона Мёрфи. А посему сотрудники, занимающие руководящие должности, должны быть импульсивными разгильдяями, но в то же время ответственными и дисциплинированными. Ведь именно руководящие должности чаще всего сталкиваются с действием законов Мёрфи, где без умения «взмыть над ситуацией» и проявить творческий подход - выкрутиться без жертв не получится. Человек должен быть невероятно креативен. Уметь найти самое нестандартное решение и сразу же его осуществить, не упираясь и не углубляясь в сложности ситуации, откинуть привычные решения сразу и предложить свой новаторский и наиболее эффективный подход. Зачастую организация подразумевает дисциплину, но абсолютно дисциплинированный человек - просто винтик. А потому, подбирая человека на руководящую должность, смотрите не только на тех кандидатов, которые идеально прошли все ваши тесты, но и на тех, кто не прошел, но мыслит оригинальней многих. Ведь этому не учат в школе менеджмента, это дано от Бога.

Не доводите ситуацию до абсурда, если вы чувствуете что двигатель начал барахлить, то «понасилуйте» его еще недельку, но потом все равно появитесь у мастера. Не пытайтесь поставить телегу впереди паровоза. Если ситуация уже начала развиваться в невыгодном для вас направлении, придумайте, не как резко остановить поезд, а как плавно сбросить обороты, чтобы остановка была максимально мягкой. Ведь резкая остановка, как правило, всегда приводит к краху и обвалу. И наконец, если «буря» достигла невероятного масштаба, имейте в себе смелость отказаться от бизнеса. Найти в себе силы продать его не за половину, и даже не за четверть, а за одну десятую всей стоимости, чтобы была возможность заняться чем-то другим, если здесь у вас ничего не получилось. Вы же творческий человек - у вас деньги в руках. А деньги - это не журавль в небе, и даже не синица, это деньги. Возьмите и вложите их во что-нибудь другое! В случае же если вы будете бесконечно долго тянуть резину, останетесь вообще безо всего. Законы Мёрфи лишь подчеркивают, что сложные ситуации были, есть и будут. И способность человека выкручиваться из сложных ситуаций - это не подготовка в бизнес-школе, а исключительно креативность его собственного ума. Встречайте бурю улыбаясь!

* Дмитрий Житомирский, генеральный директори основатель «Артком СПБ».

Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.

От размышлений о вечном до теории вероятностей

Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.

Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.

Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.

Что такое случайность

Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.

Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.

Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…

Вероятность случайного события

Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.

Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).

В теории вероятностей отличают:

  • достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
  • невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
  • случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).

Отношения между событиями

Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.

По отношению друг к другу события могут быть:

  • Равновозможными.
  • Совместимыми.
  • Несовместимыми.
  • Противоположными (взаимоисключающими).
  • Зависимыми.

Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .

Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.

Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.

Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.

Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.

Отношения между событиями. Примеры

На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.

Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.

Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.

Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.

Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.

Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:

  • Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
  • Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
  • Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
  • Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
  • Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
  • Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
  • Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).

Формула вероятности события

Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.

С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».

Итак, формула вероятности события:

Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Расчет вероятности события. Пример

Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.

На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:

  • A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
  • B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
  • C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.

Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.

Несовместные события

Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.

Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.

Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.

В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий

Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.

Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.

Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятность произведения несовместных событий

Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна

То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.

Совместные события

События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.

Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.

Вероятность суммы совместных событий. Пример

Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):

Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".

Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.

Геометрия вероятности для наглядности

Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.

Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.

Зависимые события

Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.

Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.

Пример расчета вероятности зависимых событий

Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.

На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:

  1. Бубновая.
  2. Другой масти.

Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:

Р A (В) =8/35=0,23

Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:

Р A (В) =9/35=0,26.

Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.

Умножение зависимых событий

Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:

Р(А) = 9/36=1/4

Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.

Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):

Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)

Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:

27/36*9/35=0,19, или 19%

Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.

Полная вероятность события

Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:

  • P(A i)>0, i=1,2,…
  • A i ∩ A j =Ø,i≠j.
  • Σ k A k =Ω.

Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:

Взгляд в будущее

Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.

Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.

Пусть в результате испытания могут появиться п событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны.

Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1, А 2 , А п, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением, вероятностей противоположных событий A 1 А 2 , А п:

Р(А) = 1 - q 1 , q n

Частный случай. Если события A 1 А 2 , А„ имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Р (Л) = 1 — q п (**)

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р 1 = 0,8; р 2 = 0,7;

р 3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A 1 (попадание первого орудия), А 2 (попадание второго орудия) и А 3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А 1 А 2 и А 3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

q 1 = 1 - p 1 = 1-0,8 = 0,2; q 2 = 1 - p 2 == 1-0,7 = 0,3; , q 3 = 1 - p 3 = 1-0,9 = 0,1.

Искомая вероятность

Р (А) = 1 — q 1 q 2 q 3 = 1 —0,2 * 0,3 * 0,1 = 0,994.

Пример 2. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: p + q = 1

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна q = 1-p = 1—0,9 = 0,1.

Искомая вероятность

Р (A) = 1 — q 4 = 1 — 0,1 4 = 0,9999.

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример 3. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Решение. Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (**)

По условию, Р (А) = 0,936; п = 3. Следовательно,

0,936=1 — q 3 или q 3 = 1-0,936 = 0,064.

Отсюда q = = 0,4.

Искомая вероятность р = 1 — q = 1 — 0,4 = 0,6.