Svi prirodni brojevi. Što je prirodni broj

Navigacija po stranici:

Definicija. Cijeli brojevi- ovo su brojevi koji se koriste za brojanje: 1, 2, 3, ..., n, ...

Skup prirodnih brojeva obično se označava simbolom N(od lat. naturalis- prirodno).

Prirodni brojevi u decimalnom brojevnom sustavu zapisuju se s deset znamenki:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Skup prirodnih brojeva je naručeni skup, tj. za sve prirodne brojeve m i n vrijedi jedna od sljedećih relacija:

  • ili m = n (m je jednako n),
  • ili m > n (m veće od n),
  • ili m< n (m меньше n ).
  • Najmanje prirodno broj - jedan (1)
  • Ne postoji najveći prirodni broj.
  • Nula (0) nije prirodan broj.
Skup prirodnih brojeva je beskonačan, jer za svaki broj n uvijek postoji broj m koji je veći od n

Od susjednih prirodnih brojeva naziva se broj koji je lijevo od n prethodni broj n, a poziva se broj koji je desno sljedeći nakon n.

Operacije s prirodnim brojevima

Zatvorene operacije nad prirodnim brojevima (operacije proizašle iz prirodnih brojeva) uključuju sljedeće aritmetičke operacije:

  • Dodatak
  • Množenje
  • Potenciranje a b , gdje je a baza, a b eksponent. Ako su baza i eksponent prirodni brojevi, tada će rezultat biti prirodan broj.

Uz to, razmatraju se još dvije operacije. S formalnog gledišta, to nisu operacije s prirodnim brojevima, jer njihov rezultat neće uvijek biti prirodan broj.

  • Oduzimanje(U ovom slučaju Minuend mora biti veći od Subtrahenda)
  • Podjela

Klase i činovi

Mjesto je pozicija (položaj) znamenke u zapisu broja.

Najniži rang je onaj s desne strane. Najvažnija znamenka je ona s lijeve strane.

Primjer:

5 - jedinice, 0 - desetice, 7 - stotine,
2 - tisuće, 4 - deseci tisuća, 8 - stotine tisuća,
3 - milijun, 5 - deseci milijuna, 1 - stotine milijuna

Radi lakšeg čitanja prirodni brojevi podijeljeni su u skupine od po tri znamenke, počevši s desne strane.

Klasa- skupina od tri znamenke na koje je podijeljen broj, počevši s desna. Posljednja klasa može se sastojati od tri, dvije ili jedne znamenke.

  • Prva klasa je klasa jedinica;
  • Druga klasa je klasa tisuća;
  • Treća klasa je klasa milijuna;
  • Četvrta klasa je klasa milijardi;
  • Peta klasa - klasa trilijuna;
  • Šesta klasa - klasa kvadrilijuna (kvadrilijuna);
  • Sedma klasa je klasa kvintilijuna (quintillions);
  • Osma klasa - sextillion klasa;
  • Deveta klasa - septilijunska klasa;

Primjer:

34 - milijarda 456 milijuna 196 tisuća 45

Usporedba prirodnih brojeva

  1. Uspoređivanje prirodnih brojeva s različitim brojem znamenki

    Među prirodnim brojevima veći je onaj s više znamenki

  2. Uspoređivanje prirodnih brojeva s jednakim brojem znamenki

    Uspoređujte brojeve malo po malo, počevši od najznačajnije znamenke. Veći je onaj koji ima više jedinica u najvišem rangu istog imena

Primjer:

3466 > 346 - budući da se broj 3466 sastoji od 4 znamenke, a broj 346 sastoji se od 3 znamenke.

34666 < 245784 - jer se broj 34666 sastoji od 5 znamenki, a broj 245784 sastoji se od 6 znamenki.

Primjer:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Drugi prirodni broj s jednakim brojem znamenki je veći jer je 6 > 2.

U matematici postoji nekoliko različitih skupova brojeva: realni, kompleksni, cijeli, racionalni, iracionalni, ... U našem Svakidašnjica Prirodne brojeve najčešće koristimo, jer ih susrećemo pri brojanju i traženju, označavajući broj predmeta.

U kontaktu s

Koji se brojevi nazivaju prirodnim brojevima?

Od deset znamenki možete napisati apsolutno bilo koji postojeći zbroj klasa i činova. Prirodnim vrijednostima smatraju se one koji se koriste:

  • Prilikom brojanja bilo kojih predmeta (prvi, drugi, treći, ... peti, ... deseti).
  • Kod označavanja broja predmeta (jedan, dva, tri...)

N vrijednosti su uvijek cijeli i pozitivni. Ne postoji najveći N jer je skup cjelobrojnih vrijednosti neograničen.

Pažnja! Prirodni brojevi se dobivaju pri prebrojavanju predmeta ili pri označavanju njihove količine.

Apsolutno bilo koji broj može se rastaviti i predstaviti u obliku znamenki, na primjer: 8.346.809=8 milijuna+346 tisuća+809 jedinica.

Postavite N

Skup N je u skupu realni, cijeli i pozitivni. Na dijagramu skupova oni bi se nalazili jedan u drugom, jer je skup prirodnih dio njih.

Skup prirodnih brojeva označava se slovom N. Taj skup ima početak, ali nema kraj.

Postoji i prošireni skup N, gdje je uključena nula.

Najmanji prirodni broj

U većini matematičkih škola najmanja vrijednost N smatra se jedinicom, budući da se odsutnost objekata smatra prazninom.

Ali u stranim matematičkim školama, na primjer u francuskim, smatra se prirodnim. Prisutnost nule u nizu olakšava dokaz neki teoremi.

Niz vrijednosti N koji uključuje nulu naziva se proširenim i označava se simbolom N0 (nulti indeks).

Nizovi prirodnih brojeva

N serija je niz svih N skupova znamenki. Ovaj niz nema kraja.

Osobitost prirodnog niza je da će se sljedeći broj razlikovati za jedan od prethodnog, odnosno povećavati. Ali značenja ne može biti negativan.

Pažnja! Radi lakšeg prebrojavanja, postoje klase i kategorije:

  • Jedinice (1, 2, 3),
  • desetice (10, 20, 30),
  • Stotine (100, 200, 300),
  • Tisuće (1000, 2000, 3000),
  • Deseci tisuća (30.000),
  • Stotine tisuća (800.000),
  • Milijuni (4000000), itd.

Svi N

Svi N su u skupu realnih, cijelih, nenegativnih vrijednosti. Oni su njihovi sastavni dio.

Te vrijednosti idu u beskonačnost, mogu pripadati klasama milijuna, milijardi, kvintilijuna itd.

Na primjer:

  • Pet jabuka, tri mačića,
  • Deset rubalja, trideset olovaka,
  • Sto kilograma, tri stotine knjiga,
  • Milijun zvijezda, tri milijuna ljudi itd.

Sekvenca u N

U različitim matematičkim školama možete pronaći dva intervala kojima niz N pripada:

od nule do plus beskonačno, uključujući krajeve, i od jedan do plus beskonačno, uključujući krajeve, to jest sve cijeli pozitivni odgovori.

N skupova znamenki mogu biti parni ili neparni. Razmotrimo koncept neobičnosti.

Nepar (svaki neparni broj završava brojevima 1, 3, 5, 7, 9.) s dva ima ostatak. Na primjer, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Što čak znači N?

Svi parni zbroji klasa završavaju brojevima: 0, 2, 4, 6, 8. Kada se parni N podijeli s 2, neće biti ostatka, odnosno rezultat je cijeli odgovor. Na primjer, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Važno! Niz brojeva od N ne može se sastojati samo od parnih ili neparnih vrijednosti, budući da se one moraju izmjenjivati: nakon parnog uvijek slijedi neparan, nakon kojeg ponovno slijedi parni, itd.

Svojstva N

Kao i svi drugi skupovi, N ima svoja posebna svojstva. Razmotrimo svojstva niza N (neproširenog).

  • Vrijednost koja je najmanja i koja ne slijedi nijednu drugu je jedan.
  • N predstavljaju niz, odnosno jednu prirodnu vrijednost slijedi drugi(osim jednog - to je prvi).
  • Kada izvodimo računske operacije na N zbrojeva znamenki i klasa (zbrajanje, množenje), tada je odgovor uvijek ispadne prirodno značenje.
  • U izračunima se mogu koristiti permutacije i kombinacije.
  • Svaka sljedeća vrijednost ne može biti manja od prethodne. I u nizu N vrijedi sljedeći zakon: ako je broj A manji od B, tada će u nizu brojeva uvijek postojati C za koji vrijedi jednakost: A+C=B.
  • Ako uzmemo dva prirodna izraza, na primjer A i B, tada će za njih biti istinit jedan od izraza: A = B, A je veći od B, A je manji od B.
  • Ako je A manje od B, a B je manje od C, onda slijedi da da je A manje od C.
  • Ako je A manji od B, onda slijedi da: ako im dodamo isti izraz (C), tada je A + C manji od B + C. Također je istina da ako se te vrijednosti pomnože s C, tada je AC manji od AB.
  • Ako je B veće od A, ali manje od C, tada vrijedi: B-A je manje od C-A.

Pažnja! Sve navedene nejednakosti vrijede iu suprotnom smjeru.

Kako se zovu komponente množenja?

U mnogim jednostavnim, pa čak i složenim problemima, pronalaženje odgovora ovisi o vještinama školaraca.

Da biste brzo i ispravno množili i znali rješavati inverzne zadatke, morate poznavati komponente množenja.

15. 10=150. U ovom izrazu postoje 15 i 10 su množitelji, a 150 je proizvod.

Množenje ima svojstva koja su neophodna pri rješavanju problema, jednadžbi i nejednakosti:

  • Preuređivanje faktora neće promijeniti konačni proizvod.
  • Da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s poznatim faktorom (vrijedi za sve faktore).

Na primjer: 15 . X=150. Podijelimo umnožak s poznatim faktorom. 150:15=10. Napravimo provjeru. 15 . 10=150. Po tom principu čak i odlučuju složene linearne jednadžbe(da ih pojednostavimo).

Važno! Proizvod se može sastojati od više od samo dva faktora. Na primjer: 840=2 . 5. 7. 3. 4

Što su prirodni brojevi u matematici?

Mjesta i klase prirodnih brojeva

Zaključak

Sažmimo. N se koristi pri brojanju ili označavanju broja predmeta. Niz prirodnih skupova brojeva je beskonačan, ali uključuje samo cjelobrojne i pozitivne zbrojeve znamenki i klasa. Množenje je također potrebno kako bi se brojati predmete, kao i za rješavanje zadataka, jednadžbi i raznih nejednadžbi.

Najjednostavniji broj je prirodni broj. Koriste se u svakodnevnom životu za brojanje objekte, tj. izračunati njihov broj i redoslijed.

Što je prirodni broj: prirodni brojevi imenovati brojeve koji se koriste brojanje predmeta ili za označavanje serijskog broja bilo kojeg predmeta iz svih homogenih stavke.

Cijeli brojevi- ovo su brojevi koji počinju od jedan. Nastaju prirodno prilikom brojanja.Na primjer, 1,2,3,4,5... -prvi prirodni brojevi.

Najmanji prirodni broj- jedan. Ne postoji najveći prirodni broj. Pri prebrojavanju broja Nula se ne koristi, pa je nula prirodan broj.

Nizovi prirodnih brojeva je niz svih prirodnih brojeva. Zapisivanje prirodnih brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

U prirodnom nizu svaki je broj jedan za jedan veći od prethodnog.

Koliko brojeva ima prirodni niz? Prirodni niz je beskonačan; najveći prirodni broj ne postoji.

Decimala budući da 10 jedinica bilo koje znamenke čini 1 jedinicu najviše znamenke. Pozicijski tako kako značenje znamenke ovisi o njezinu mjestu u broju, tj. iz kategorije u kojoj je napisano.

Klase prirodnih brojeva.

Bilo koji prirodni broj može se napisati s 10 arapskih brojeva:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Za čitanje prirodnih brojeva, oni se dijele, počevši s desne strane, u skupine od po 3 znamenke. 3 prva brojevi s desne strane su klasa jedinica, sljedeća 3 su klasa tisućica, zatim klase milijuna, milijardi iitd. Svaka od znamenki klase naziva se njenapražnjenje.

Usporedba prirodnih brojeva.

Od 2 prirodna broja manji je onaj broj koji se prije zove pri brojanju. Na primjer, broj 7 manje 11 (piši ovako:7 < 11 ). Kada je jedan broj veći od drugog, piše se ovako:386 > 99 .

Tablica znamenki i klase brojeva.

jedinica 1. razreda

1. znamenka jedinice

2. znamenka desetica

3. mjesto stotinke

2. klasa tisuća

1. znamenka jedinice tisućica

2. znamenka desetaka tisuća

3. kategorija stotine tisuća

Milijuni 3. klase

1. znamenka jedinice milijuna

2. kategorija deseci milijuna

3. kategorija stotine milijuna

milijarde 4. klase

1. znamenka jedinice milijardi

2. kategorija deseci milijardi

3. kategorija stotine milijardi

Brojevi od 5. razreda i viši smatraju se velikim brojevima. Jedinice 5. razreda su bilijuni, 6 klasa - kvadrilijuni, 7. klasa - kvintilijuni, 8. klasa - sekstilijuni, 9. klasa - eptilioni.

Osnovna svojstva prirodnih brojeva.

  • Komutativnost zbrajanja . a + b = b + a
  • Komutativnost množenja. ab = ba
  • Asocijativnost zbrajanja. (a + b) + c = a + (b + c)
  • Asocijativnost množenja.
  • Distributivnost množenja u odnosu na zbrajanje:

Operacije s prirodnim brojevima.

4. Dijeljenje prirodnih brojeva je operacija obratna od množenja.

Ako b ∙ c = a, To

Formule za dijeljenje:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Brojevni izrazi i brojevne jednakosti.

Zapis gdje su brojevi povezani znakovima radnje je brojčani izraz.

Na primjer, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Zapisi u kojima su 2 numerička izraza kombinirana sa znakom jednakosti su brojčane jednakosti. Jednakost ima lijevu i desnu stranu.

Redoslijed izvođenja aritmetičkih operacija.

Zbrajanje i oduzimanje brojeva su operacije prvog stupnja, dok su množenje i dijeljenje operacije drugog stupnja.

Kada se numerički izraz sastoji od radnji samo jednog stupnja, one se izvode sekvencijalno s lijeva na desno.

Kada se izrazi sastoje od radnji samo prvog i drugog stupnja, tada se radnje izvode prve drugi stupanj, a zatim - radnje prvog stupnja.

Kada u izrazu postoje zagrade, prvo se izvode radnje u zagradama.

Na primjer, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Cijeli brojevi Vrlo su nam poznati i prirodni. I to ne čudi, budući da upoznavanje s njima počinje od prvih godina našeg života na intuitivnoj razini.

Informacije u ovom članku stvaraju osnovno razumijevanje prirodnih brojeva, otkrivaju njihovu svrhu i usađuju vještine pisanja i čitanja prirodnih brojeva. Za bolje razumijevanje gradiva dani su potrebni primjeri i ilustracije.

Navigacija po stranici.

Prirodni brojevi – opći prikaz.

Nije lišeno logike ni sljedeće mišljenje: pojava zadatka brojanja predmeta (prvi, drugi, treći predmet itd.) i zadatka označavanja broja predmeta (jedan, dva, tri predmeta itd.) dovela je do stvaranje alata za njegovo rješavanje, ovo je bio instrument cijeli brojevi.

Iz ove rečenice je jasno glavna svrha prirodnih brojeva– sadržavati informacije o broju bilo koje stavke ili serijskom broju dane stavke u skupu stavki koje se razmatraju.

Da bi čovjek mogao koristiti prirodne brojeve, oni moraju biti na neki način dostupni i percepciji i reprodukciji. Ako izgovorite svaki prirodni broj, on će postati vidljiv na uho, a ako prikažete prirodni broj, onda se može vidjeti. Ovo su najprirodniji načini prenošenja i percepcije prirodnih brojeva.

Pa počnimo usvajati vještine prikazivanja (pisanja) i izgovaranja (čitanja) prirodnih brojeva, dok učimo njihovo značenje.

Decimalni zapis prirodnog broja.

Prvo moramo odlučiti od čega ćemo polaziti pri zapisivanju prirodnih brojeva.

Prisjetimo se slika sljedećih znakova (prikazat ćemo ih odvojene zarezima): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Prikazane slike su snimka tzv brojevima. Odmah se dogovorimo da nećemo preokrenuti, naginjati ili na drugi način iskrivljavati brojeve prilikom snimanja.

Sada se složimo da u zapisu bilo kojeg prirodnog broja mogu biti prisutne samo naznačene znamenke i nikakvi drugi simboli. Dogovorimo se i da su znamenke u zapisu prirodnog broja iste visine, poredane u nizu jedna za drugom (gotovo bez uvlake) i da se s lijeve strane nalazi znamenka koja nije znamenka 0 .

Evo nekoliko primjera pravilnog pisanja prirodnih brojeva: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (imajte na umu: uvlake između brojeva nisu uvijek iste, više o tome bit će riječi prilikom pregleda). Iz gornjih primjera jasno je da zapis prirodnog broja ne mora nužno sadržavati sve znamenke 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; neke ili sve znamenke uključene u pisanje prirodnog broja mogu se ponavljati.

Postovi 014 , 0005 , 0 , 0209 nisu zapisi prirodnih brojeva, jer postoji znamenka s lijeve strane 0 .

Pisanje prirodnog broja, napravljeno uzimajući u obzir sve zahtjeve opisane u ovom odlomku, zove se decimalni zapis prirodnog broja.

Dalje nećemo razlikovati prirodne brojeve i njihov zapis. Objasnimo ovo: dalje u tekstu koristit ćemo izraze poput „s obzirom na prirodni broj 582 “, što će značiti da je zadan prirodni broj čiji zapis ima oblik 582 .

Prirodni brojevi u smislu broja predmeta.

Došlo je vrijeme da shvatimo kvantitativno značenje koje nosi napisani prirodni broj. O značenju prirodnih brojeva u smislu numeriranja predmeta govori se u članku Usporedba prirodnih brojeva.

Počnimo s prirodnim brojevima čiji se unosi podudaraju s unosima znamenki, odnosno brojevima 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 I 9 .

Zamislimo da smo otvorili oči i vidjeli neki predmet, na primjer, ovakav. U ovom slučaju možemo zapisati ono što vidimo 1 artikal. Prirodni broj 1 čita se kao " jedan"(deklinacija broja "jedan", kao i drugih brojeva, dat ćemo u paragrafu), za broj 1 usvojen je drugi naziv - “ jedinica».

Međutim, izraz "jedinica" ima više vrijednosti, osim prirodnog broja 1 , nazvati nešto što se smatra cjelinom. Na primjer, bilo koja stavka od mnogih može se nazvati jedinicom. Na primjer, svaka jabuka iz skupa jabuka je jedinica, svako jato ptica iz skupa jata ptica također je jedinica, itd.

Sada otvaramo oči i vidimo: . To jest, vidimo jedan objekt i drugi objekt. U ovom slučaju možemo zapisati ono što vidimo 2 subjekt. Prirodni broj 2 , čita se kao " dva».

Isto tako, - 3 predmet (pročitaj " tri» predmet), - 4 (« četiri") subjekta, - 5 (« pet»), - 6 (« šest»), - 7 (« sedam»), - 8 (« osam»), - 9 (« devet") stavke.

Dakle, s razmatrane pozicije prirodni brojevi 1 , 2 , 3 , …, 9 naznačiti količina stavke.

Broj čiji zapis odgovara zapisu znamenke 0 , pod nazivom " nula" Broj nula NIJE prirodan broj, ali se obično smatra zajedno s prirodnim brojevima. Zapamtite: nula znači odsutnost nečega. Na primjer, nula stavki nije jedna stavka.

U sljedećim odlomcima članka nastavit ćemo otkrivati ​​značenje prirodnih brojeva u smislu označavanja količina.

Jednoznamenkasti prirodni brojevi.

Očito, zapis svakog od prirodnih brojeva 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 sastoji se od jednog znaka – jednog broja.

Definicija.

Jednoznamenkasti prirodni brojevi– to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od jednog znaka – jedne znamenke.

Nabrojimo sve jednoznamenkaste prirodne brojeve: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ukupno ima devet jednoznamenkastih prirodnih brojeva.

Dvoznamenkasti i troznamenkasti prirodni brojevi.

Najprije definirajmo dvoznamenkaste prirodne brojeve.

Definicija.

Dvoznamenkasti prirodni brojevi– to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od dva predznaka – dvije znamenke (različite ili iste).

Na primjer, prirodni broj 45 – dvoznamenkasti, brojevi 10 , 77 , 82 također dvoznamenkasti, i 5 490 , 832 , 90 037 – nije dvoznamenkasti.

Odgonetnimo kakvo značenje imaju dvoznamenkasti brojevi, dok ćemo se nadovezati na kvantitativno značenje jednoznamenkastih prirodnih brojeva koje već znamo.

Za početak, predstavimo koncept deset.

Zamislimo ovu situaciju - otvorili smo oči i vidjeli set koji se sastoji od devet predmeta i još jednog predmeta. U ovom slučaju govore o 1 deset (jedan tucet) predmeta. Ako se jedan deset i drugi deset promatraju zajedno, onda oni govore o 2 desetice (dvije desetice). Ako dvjema deseticama dodamo još jednu deseticu, imat ćemo tri desetice. Nastavljajući ovaj proces, dobit ćemo četiri desetice, pet desetica, šest desetica, sedam desetica, osam desetica i na kraju devet desetica.

Sada možemo prijeći na suštinu dvoznamenkastih prirodnih brojeva.

Da bismo to učinili, pogledajmo dvoznamenkasti broj kao dva jednoznamenkasta broja – jedan je lijevo u zapisu dvoznamenkastog broja, drugi je desno. Broj na lijevoj strani označava broj desetica, a broj na desnoj strani broj jedinica. Štoviše, ako postoji znamenka s desne strane dvoznamenkastog broja, 0 , onda to znači odsutnost jedinica. To je cijela poanta dvoznamenkastih prirodnih brojeva u smislu označavanja količina.

Na primjer, dvoznamenkasti prirodni broj 72 odgovara 7 deseci i 2 jedinice (tj. 72 jabuke je skup od sedam tuceta jabuka i još dvije jabuke), i broj 30 odgovori 3 deseci i 0 nema jedinica, odnosno jedinica koje nisu spojene u desetice.

Odgovorimo na pitanje: "Koliko ima dvoznamenkastih prirodnih brojeva?" Odgovori im 90 .

Prijeđimo na definiciju troznamenkastih prirodnih brojeva.

Definicija.

Prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od 3 znakovi – 3 pozivaju se brojevi (različiti ili ponavljajući). troznamenkasti.

Primjeri prirodnih troznamenkastih brojeva su 372 , 990 , 717 , 222 . Cijeli brojevi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nisu troznamenkasti.

Da bismo razumjeli značenje svojstveno troznamenkastim prirodnim brojevima, potreban nam je koncept stotine.

Skup od deset desetica je 1 sto (sto). Sto i sto je 2 stotine. Dvije stotine i još jedna stotina je tri stotine. I tako dalje, imamo četiri stotine, pet stotina, šest stotina, sedam stotina, osam stotina i na kraju devet stotina.

Promotrimo sada troznamenkasti prirodni broj kao tri jednoznamenkasta prirodna broja, koji slijede jedan za drugim s desna na lijevo u zapisu troznamenkastog prirodnog broja. Broj s desne strane označava broj jedinica, sljedeći broj označava broj desetica, a sljedeći broj označava broj stotina. Brojke 0 u pisanju troznamenkasti broj znači odsutnost desetica i (ili) jedinica.

Dakle, troznamenkasti prirodni broj 812 odgovara 8 stotine, 1 deset i 2 jedinice; broj 305 - tristo ( 0 desetice, odnosno nema desetica koje nisu spojene u stotine) i 5 jedinice; broj 470 – četiri stotine i sedam desetica (nema jedinica koje nisu spojene u desetice); broj 500 – pet stotina (nema desetica koje nisu spojene u stotine, niti jedinica koje nisu spojene u desetice).

Slično, može se definirati četveroznamenkasti, peteroznamenkasti, šesteroznamenkasti itd. prirodni brojevi.

Višeznamenkasti prirodni brojevi.

Dakle, prijeđimo na definiciju višeznačnih prirodnih brojeva.

Definicija.

Višeznamenkasti prirodni brojevi- to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od dva ili tri ili četiri itd. znakovi. Drugim riječima, višeznamenkasti prirodni brojevi su dvoznamenkasti, troznamenkasti, četveroznamenkasti itd. brojevima.

Recimo odmah da je skup koji se sastoji od deset stotina tisuću, tisuću tisuća je milijun, tisuću milijuna je jedna milijarda, tisuću milijardi je jedan trilijun. Tisuću trilijuna, tisuću tisuća trilijuna i tako dalje mogu također dobiti vlastita imena, ali za to nema posebne potrebe.

Dakle, koje je značenje iza višeznamenkastih prirodnih brojeva?

Promatrajmo višeznamenkasti prirodni broj kao jednoznamenkaste prirodne brojeve koji slijede jedan za drugim s desna na lijevo. Broj na desnoj strani označava broj jedinica, sljedeći broj je broj desetica, sljedeći je broj stotina, zatim broj tisuća, zatim broj desetaka tisuća, zatim stotina tisuća, zatim broj milijuna, zatim broj desetaka milijuna, zatim stotina milijuna, zatim – broj milijardi, zatim – broj desetaka milijardi, zatim – stotina milijardi, zatim – trilijuna, zatim – desetak trilijuna, zatim – stotine bilijuna i tako dalje.

Na primjer, višeznamenkasti prirodni broj 7 580 521 odgovara 1 jedinica, 2 deseci, 5 stotine, 0 tisuće, 8 deseci tisuća, 5 stotine tisuća i 7 milijuni.

Tako smo naučili grupirati jedinice u desetice, desetice u stotine, stotine u tisućice, tisućice u desetke tisuća i tako dalje, te saznali da brojevi u zapisu višeznamenkastog prirodnog broja označavaju odgovarajući broj iznad grupa.

Čitanje prirodnih brojeva, klase.

Već smo spomenuli kako se čitaju jednoznamenkasti prirodni brojevi. Naučimo sadržaje sljedećih tablica napamet.






Kako se čitaju preostali dvoznamenkasti brojevi?

Objasnimo na primjeru. Očitajmo prirodni broj 74 . Kao što smo gore saznali, ovaj broj odgovara 7 deseci i 4 jedinice, tj. 70 I 4 . Okrećemo se tablicama koje smo upravo snimili i broju 74 čitamo kao: “Sedamdeset i četiri” (veznik “i” ne izgovaramo). Ako trebate pročitati broj 74 u rečenici: „Ne 74 jabuke" (genitiv), onda će zvučati ovako: "Nema sedamdeset četiri jabuke." Još jedan primjer. Broj 88 - Ovo 80 I 8 , dakle, čitamo: "osamdeset osam." Evo primjera rečenice: "On razmišlja o osamdeset osam rubalja."

Prijeđimo na čitanje troznamenkastih prirodnih brojeva.

Da bismo to učinili, morat ćemo naučiti još nekoliko novih riječi.



Ostaje pokazati kako se čitaju preostali troznamenkasti prirodni brojevi. U ovom slučaju koristit ćemo se već stečenim vještinama čitanja jednoznamenkastih i dvoznamenkastih brojeva.

Pogledajmo primjer. Očitajmo broj 107 . Ovaj broj odgovara 1 stotinu i 7 jedinice, tj. 100 I 7 . Okrećući se tablicama, čitamo: "Sto sedam." Sada recimo broj 217 . Ovaj broj je 200 I 17 , dakle, čitamo: “Dvjesto sedamnaest.” Također, 888 - Ovo 800 (osam stotina) i 88 (osamdeset osam), čitamo: "Osamsto osamdeset osam."

Prijeđimo na čitanje višeznamenkastih brojeva.

Za čitanje se zapis višeznamenkastog prirodnog broja dijeli, počevši s desne strane, u skupine od po tri znamenke, a u krajnjoj lijevoj takvoj skupini može biti ili 1 , ili 2 , ili 3 brojevima. Ove grupe se nazivaju klase. Klasa s desne strane se zove klasa jedinica. Poziva se klasa koja slijedi (s desna na lijevo). klasa tisuća, sljedeći razred – milijunska klasa, Sljedeći - milijarda klasa, sljedeće dolazi trilijunska klasa. Možete dati nazive sljedećih klasa, ali prirodnih brojeva, čiji se zapis sastoji od 16 , 17 , 18 itd. znakovi se obično ne čitaju, jer ih je vrlo teško percipirati na uho.

Pogledajte primjere dijeljenja višeznamenkastih brojeva u klase (radi jasnoće, klase su odvojene jedna od druge malom uvlakom): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Stavimo zapisane prirodne brojeve u tablicu koja olakšava njihovo čitanje.


Za čitanje prirodnog broja njegove sastavne brojeve nazivamo razredima slijeva nadesno i dodajemo naziv razreda. Istovremeno, ne izgovaramo naziv klase jedinica, a također preskačemo one klase koje čine tri znamenke 0 . Ako unos razreda ima broj s lijeve strane 0 ili dvije znamenke 0 , onda zanemarimo ove brojeve 0 i pročitajte broj dobiven odbacivanjem tih brojeva 0 . npr. 002 čitati kao "dva", i 025 - kao u "dvadeset pet."

Očitajmo broj 489 002 prema zadanim pravilima.

Čitamo s lijeva na desno,

  • pročitaj broj 489 , predstavljajući klasu tisuća, je “četiristo osamdeset i devet”;
  • dodajte naziv klase, dobivamo "četiristo osamdeset devet tisuća";
  • dalje u klasi jedinica vidimo 002 , lijevo su nule, stoga ih ignoriramo 002 čitati kao "dva";
  • nema potrebe dodavati naziv klase jedinice;
  • na kraju imamo 489 002 - “četiristo osamdeset devet tisuća dva.”

Počnimo čitati broj 10 000 501 .

  • S lijeve strane u klasi milijuna vidimo broj 10 , čitati "deset";
  • dodajte naziv klase, imamo “deset milijuna”;
  • tada vidimo unos 000 u klasi tisućica, budući da su sve tri znamenke znamenke 0 , tada preskačemo ovaj razred i prelazimo na sljedeći;
  • klasa jedinica predstavlja broj 501 , što čitamo “petsto jedan”;
  • Tako, 10 000 501 - deset milijuna petsto jedan.

Učinimo to bez detaljnog objašnjenja: 1 789 090 221 214 - “jedan trilijun sedamsto osamdeset devet milijardi devedeset milijuna dvjesto dvadeset jedna tisuća dvjesto četrnaest.”

Dakle, temelj vještine čitanja višeznamenkastih prirodnih brojeva je sposobnost dijeljenja višeznamenkastih brojeva u razrede, poznavanje naziva razreda i sposobnost čitanja troznamenkastih brojeva.

Znamenke prirodnog broja, vrijednost znamenke.

U pisanju prirodnog broja, značenje svake znamenke ovisi o njezinu položaju. Na primjer, prirodni broj 539 odgovara 5 stotine, 3 deseci i 9 jedinice, dakle, brojka 5 u pisanju broja 539 određuje broj stotica, znamen 3 – broj desetica i znamenka 9 - broj jedinica. Istodobno kažu da brojka 9 troškovi u znamenka jedinica i broj 9 je jedinična znamenka vrijednost, broj 3 troškovi u mjesto desetica i broj 3 je mjesna vrijednost desetica, i broj 5 - V stotine mjesta i broj 5 je stotine mjesne vrijednosti.

Tako, pražnjenje- s jedne strane, to je položaj znamenke u zapisu prirodnog broja, as druge strane, vrijednost te znamenke, određena njezinim položajem.

Kategorijama su dana imena. Ako brojeve u zapisu prirodnog broja promatrate s desna na lijevo, tada će oni odgovarati sljedećim znamenkama: jedinice, desetice, stotine, tisuće, desetice tisuća, stotine tisuća, milijuni, deseci milijuna i tako dalje.

Zgodno je zapamtiti nazive kategorija kada su prikazane u obliku tablice. Napišimo tablicu koja sadrži nazive 15 kategorija.


Imajte na umu da je broj znamenki zadanog prirodnog broja jednak broju znakova koji su uključeni u pisanje tog broja. Dakle, snimljena tablica sadrži nazive znamenki svih prirodnih brojeva, čiji zapis sadrži do 15 znakova. Sljedeći činovi također imaju svoja imena, ali se vrlo rijetko koriste, pa ih nema smisla spominjati.

Pomoću tablice znamenaka zgodno je odrediti znamenke zadanog prirodnog broja. Da biste to učinili, potrebno je ovaj prirodni broj upisati u ovu tablicu tako da u svakoj znamenki bude jedna znamenka, a krajnja desna znamenka je u znamenki jedinica.

Navedimo primjer. Zapišimo prirodni broj 67 922 003 942 u tablicu, a znamenke i značenja tih znamenki postat će jasno vidljivi.


Broj u ovom broju je 2 stoji na mjestu jedinica, znamenka 4 – na mjestu desetica znamenka 9 – na mjestu stotica itd. Treba obratiti pozornost na brojke 0 , koji se nalaze u kategorijama desetaka tisuća i stotina tisuća. Brojke 0 u ovim znamenkama znači nepostojanje jedinica tih znamenki.

Vrijedno je spomenuti i tzv. najnižu (mlađu) i najvišu (najznačajniju) znamenku višeznamenkastog prirodnog broja. Najniži (mlađi) rang svakog višeznamenkastog prirodnog broja je znamenka jedinice. Najviša (najvažnija) znamenka prirodnog broja je znamenka koja odgovara krajnjoj desnoj znamenki u zapisu ovog broja. Na primjer, niža znamenka prirodnog broja 23 004 je znamenka jedinica, a najviša znamenka je znamenka desetaka tisuća. Ako se u zapisu prirodnog broja krećemo po znamenkama slijeva nadesno, onda svaka sljedeća znamenka niži (mlađi) prethodni. Na primjer, tisućica je niža od tisućice, a još više tisućica niža od stotine tisuća, milijuna, desetaka milijuna itd. Ako se u zapisu prirodnog broja pomičemo znamenkama s desna na lijevo, onda svaka sljedeća znamenka viši (stariji) prethodni. Na primjer, znamenka stotica starija je od znamenke desetica, a još više od znamenke jedinica.

U nekim slučajevima (na primjer, kada se izvodi zbrajanje ili oduzimanje), ne koristi se sam prirodni broj, već zbroj članova znamenki tog prirodnog broja.

Ukratko o decimalnom brojevnom sustavu.

Dakle, upoznali smo se s prirodnim brojevima, njihovim značenjem i načinom zapisivanja prirodnih brojeva pomoću deset znamenki.

Općenito, metoda pisanja brojeva pomoću znakova naziva se brojevni sustav. Značenje znamenke u zapisu brojeva može, ali i ne mora ovisiti o njezinu položaju. Nazivaju se brojevni sustavi u kojima vrijednost znamenke u broju ovisi o njezinu položaju pozicijski.

Dakle, prirodni brojevi koje smo ispitali i način njihovog zapisivanja pokazuju da koristimo položajni brojevni sustav. Treba napomenuti da broj u ovom brojevnom sustavu ima posebno mjesto 10 . Doista, brojenje se vrši u deseticama: deset jedinica se kombinira u deset, desetak desetica se kombinira u stotinu, desetak stotina se kombinira u tisuću, i tako dalje. Broj 10 nazvao osnova zadani brojevni sustav, a sam brojevni sustav nazivamo decimal.

Osim dekadskog brojevnog sustava postoje i drugi, npr. u informatici se koristi binarni pozicijski brojevni sustav, a šezdesetinski sustav susrećemo kada je u pitanju mjerenje vremena.

Bibliografija.

  • Matematika. Bilo koji udžbenik za 5. razred općeobrazovnih ustanova.

Definicija

Prirodni brojevi su brojevi koji se koriste pri brojanju ili za označavanje rednog broja predmeta među sličnim objektima.

Na primjer. Prirodni brojevi će biti: $2,37,145,1059,24411$

Prirodni brojevi zapisani rastućim redom čine brojevni niz. Počinje s najmanjim prirodnim brojem 1. Skup svih prirodnih brojeva označava se s $N=\(1,2,3, \dots n, \ldots\)$. Beskonačan je jer ne postoji najveći prirodni broj. Dodamo li bilo kojem prirodnom broju jedinicu, uz zadani broj dobivamo prirodni broj.

Primjer

Vježbajte. Koji su od sljedećih brojeva prirodni brojevi?

$$-89 ; 7; \frac(4)(3) ; 34; 2 ; jedanaest ; 3.2; \sqrt(129) ; \sqrt(5)$$

Odgovor. $7 ; 34 ; 2 ; 11$

Na skupu prirodnih brojeva uvode se dvije osnovne računske operacije - zbrajanje i množenje. Za označavanje ovih operacija koriste se odgovarajući simboli " + " I " " (ili " × " ).

Zbrajanje prirodnih brojeva

Svakom paru prirodnih brojeva $n$ i $m$ pridružen je prirodni broj $s$ koji se naziva zbroj. Zbroj $s$ sastoji se od onoliko jedinica koliko ih ima u brojevima $n$ i $m$. Kaže se da je broj $s$ dobiven zbrajanjem brojeva $n$ i $m$, a oni pišu

Brojevi $n$ i $m$ nazivaju se članovima. Operacija zbrajanja prirodnih brojeva ima sljedeća svojstva:

  1. Komutativnost: $n+m=m+n$
  2. Asocijativnost: $(n+m)+k=n+(m+k)$

Više o dodavanju brojeva pročitajte na poveznici.

Primjer

Vježbajte. Nađi zbroj brojeva:

$13+9 \quad$ i $ \quad 27+(3+72)$

Riješenje. $13+9=22$

Da bismo izračunali drugi zbroj, da bismo pojednostavili izračune, prvo na njega primijenimo svojstvo asocijativnosti zbrajanja:

$$27+(3+72)=(27+3)+72=30+72=102$$

Odgovor.$13+9=22 \quad;\quad 27+(3+72)=102$

Množenje prirodnih brojeva

Svakom uređenom paru prirodnih brojeva $n$ i $m$ pridružen je prirodni broj $r$ koji se naziva njihov umnožak. Umnožak $r$ sadrži onoliko jedinica koliko ih ima u broju $n$, uzeto onoliko puta koliko jedinica ima u broju $m$. Kaže se da je broj $r$ dobiven množenjem brojeva $n$ i $m$, a oni pišu

$n \cdot m=r \quad $ ili $ \quad n \times m=r$

Brojevi $n$ i $m$ nazivaju se faktori ili faktori.

Operacija množenja prirodnih brojeva ima sljedeća svojstva:

  1. Komutativnost: $n \cdot m=m \cdot n$
  2. Asocijativnost: $(n \cdot m) \cdot k=n \cdot(m \cdot k)$

Više o množenju brojeva pročitajte slijedeći poveznicu.

Primjer

Vježbajte. Pronađite umnožak brojeva:

12$\cdot 3 \quad $ i $ \quad 7 \cdot 25 \cdot 4$

Riješenje. Prema definiciji operacije množenja:

$$12 \cdot 3=12+12+12=36$$

Svojstvo asocijativnosti množenja primjenjujemo na drugi proizvod:

$$7 \cdot 25 \cdot 4=7 \cdot(25 \cdot 4)=7 \cdot 100=700$$

Odgovor.$12 \cdot 3=36 \quad;\quad 7 \cdot 25 \cdot 4=700$

Operacija zbrajanja i množenja prirodnih brojeva povezana je zakonom distributivnosti množenja u odnosu na zbrajanje:

$$(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k$$

Zbroj i umnožak bilo koja dva prirodna broja uvijek je prirodan broj, stoga je skup svih prirodnih brojeva zatvoren prema operacijama zbrajanja i množenja.

Također, na skupu prirodnih brojeva možete uvesti operacije oduzimanja i dijeljenja, kao operacije inverzne operacijama zbrajanja, odnosno množenja. Ali ove operacije neće biti jedinstveno definirane ni za jedan par prirodnih brojeva.

Svojstvo asocijativnosti množenja prirodnih brojeva omogućuje uvođenje pojma prirodne potencije prirodnog broja: $n$-ta potencija prirodnog broja $m$ je prirodni broj $k$ dobiven množenjem broja $m $ sama $n$ puta:

Za označavanje $n$-te potencije broja $m$ obično se koristi sljedeći zapis: $m^(n)$, u kojem se broj $m$ naziva diplomska osnova, a broj $n$ je eksponent.

Primjer

Vježbajte. Pronađite vrijednost izraza $2^(5)$

Riješenje. Prema definiciji prirodne snage prirodnog broja, ovaj izraz se može napisati na sljedeći način

$$2^(5)=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=32$$